Площадь боковой поверхности призмы. Площадь боковой поверхности правильной призмы треугольной, четырехугольной и шестиугольной

Это самые распространенные объемные фигуры среди остальных подобных, которые встречаются в быту и природе. Изучением их свойств занимается стереометрия, или пространственная геометрия. В данной статье раскроем вопрос о том, как можно найти площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, а также четырехугольной и шестиугольной.

Что собой представляет призма?

Перед тем как рассчитывать площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы и других видов этой фигуры, следует разобраться, что они собой представляют. Затем научимся определять интересующие величины.

Призмой, с точки зрения геометрии, называется объемное тело, которое ограничено двумя произвольными одинаковыми многоугольниками и n параллелограммами, где n - это число сторон одного многоугольника. Нарисовать такую фигуру легко, для этого следует изобразить какой-нибудь многоугольник. Потом провести из каждой его вершины отрезок, который будет равен по длине и параллелен всем остальным. Затем требуется соединить концы этих линий между собой так, чтобы получился еще один многоугольник, равный исходному.

Выше видно, что фигура ограничена двумя пятиугольниками (они называются нижним и верхним основаниями фигуры) и пятью параллелограммами, которые на рисунке соответствуют прямоугольникам.

Все призмы отличаются друг от друга двумя главными параметрами:

  • типом многоугольника, лежащего в основании фигуры;
  • углами между параллелограммами и основаниями.

Количество сторон прямоугольника дает название призме. Отсюда получаем выше упомянутые треугольную, шестиугольную и четырехугольную фигуры.

Также они различаются по величине наклона. Что касается отмеченных углов, то если они равны 90 o , тогда такую призму называют прямой, или прямоугольной (угол наклона равен нулю). Если некоторые из углов прямыми не являются, то фигура зовется косоугольной. Различие между ними видно с первого взгляда. Рисунок ниже демонстрирует эти разновидности.

Как видно, высота h совпадает с длиной ее бокового ребра. В случае косоугольной этот параметр всегда меньше.

Какая призма называется правильной?

Поскольку мы должны ответить на вопрос о том, как найти площадь боковой поверхности правильной призмы (треугольной, четырехугольной и так далее), то нужно дать определение этому типу объемной фигуры. Разберем материал подробнее.

Правильная призма - это прямоугольная фигура, у которой правильный многоугольник образует идентичные основания. Этой фигурой может быть треугольник равносторонний, квадрат и другие. Любой n-угольник, все длины сторон и углы которого одинаковые, будет правильным.

Ряд таких призм показан схематически на рисунке ниже.

Боковая поверхность призмы

Как было сказано в эта фигура состоит из n + 2 плоскостей, которые, пересекаясь, образуют n + 2 грани. Две из них принадлежат основаниям, остальные образованы параллелограммами. Площадь всей поверхности состоит из суммы площадей указанных граней. Если в нее не включать значения двух оснований, тогда мы получаем ответ на вопрос о том, как найти площадь боковой поверхности призмы. Так, можно определить ее значение и оснований отдельно друг от друга.

Ниже приводится для которой боковая поверхность образована тремя четырехугольниками.

Рассмотрим процесс вычислений далее. Очевидно, что площадь боковой поверхности призмы равна сумме n площадей соответствующих параллелограммов. Здесь n - это число сторон многоугольника, образующего основание фигуры. Площадь каждого параллелограмма можно найти, если умножить длину его стороны на опущенную на нее высоту. Это касаемо общего случая.

Если изучаемая призма является прямой, тогда процедура определения площади ее боковой поверхности S b значительно облегчается, поскольку такая поверхность состоит из прямоугольников. В этом случае можно воспользоваться следующей формулой:

Где h - высоты фигуры, P o - периметр ее основания

Правильная призма и ее боковая поверхность

Приведенная в пункте выше формула в случае такой фигуры принимает вполне конкретный вид. Поскольку периметр n-угольника равен произведению числа его сторон на длину одной, то получается следующая формула:

Где a - длина стороны соответствующего n-угольника.

Площадь боковой поверхности четырехугольной и шестиугольной

Воспользуемся формулой выше, чтобы определить необходимые значения для отмеченных трех типов фигур. Расчеты будут выглядеть следующим образом.

Для треугольной формула примет вид:

Например, сторона треугольника равна 10 см, а высота фигуры - 7 см, тогда:

S 3 b = 3*10*7 = 210 см 2

В случае четырехугольной призмы искомое выражение принимает форму:

Если взять те же значения длин, что и в предыдущем примере, тогда получаем:

S 4 b = 4*10*7 = 280 см 2

Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы рассчитывается по формуле:

Подставляя те же числа, что и в предыдущих случаях, имеем:

S 6 b = 6*10*7 = 420 см 2

Заметим, что в случае правильной призмы любого типа ее боковая поверхность образована одинаковыми прямоугольниками. В примерах выше площадь каждого из них составляла a*h = 70 см 2 .

Расчет для косоугольной призмы

Определение значения площади боковой поверхности для данной фигуры выполнить несколько сложнее, чем для прямоугольной. Тем не менее приведенная выше формула остается той же самой, только вместо периметра основания следует взять периметр перпендикулярного среза, а вместо высоты - длину бокового ребра.

Рисунок выше демонстрирует четырехугольную косоугольную призму. Заштрихованный параллелограмм - это и есть тот перпендикулярный срез, периметр которого P sr необходимо рассчитать. Длина бокового ребра на рисунке обозначена буквой C. Тогда получаем формулу:

Периметр среза можно найти, если известны углы параллелограммов, образующих боковую поверхность.

Площадь боковой поверхности призмы. Здравствуйте! В этой публикации мы с вами разберём группу задач по стереометрии. Рассмотрим комбинацию тел – призмы и цилиндра. На данный момент эта статья завершает всю серию статей связанных с рассмотрением типов заданий по стереометрии.

Если в банке заданий будут появляться новые, то, конечно же, будут и дополнения на блоге в будущем. Но и того что уже есть вполне достаточно, чтобы вы могли научиться решать все задачи с кратким ответом в составе экзамена. Материала хватит на годы вперёд (программа по математике статична).

Представленные задания связаны с вычислением площади призмы. Отмечу, что ниже рассматривается прямая призма (и соответственно прямой цилиндр).

Без знания всяких формул, мы понимаем, что боковая поверхность призмы это все её боковые грани. У прямой призмы боковые грани это прямоугольники.

Площадь боковой поверхности такой призмы равна сумме площадей всех её боковых граней (то есть прямоугольников). Если речь идёт о правильной призме, в которую вписан цилиндр, то понятно, что все грани этой призмы являются РАВНЫМИ прямоугольниками.

Формально площадь боковой поверхности правильной призмы можно отразить так:


27064. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Боковая поверхность данной призмы состоит из четырёх равных по площади прямоугольников. Высота грани равна 1, ребро основания призмы равно 2 (это два радиуса цилиндра), следовательно площадь боковой грани равна:

Площадь боковой поверхности:

73023. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √0,12, а высота равна 3.

Площадь боковой поверхности данной призмы равна сумме площадей трёх боковых граней (прямоугольников). Для нахождения площади боковой грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота равна трём. Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху):

Имеем правильный треугольник в который вписана окружность с радиусом √0,12. Из прямоугольного треугольника АОС можем найти АС. А затем и AD (AD=2АС). По определению тангенса:

Значит AD=2АС=1,2.Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

27066. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √75, а высота равна 1.

Искомая площадь равна сумме площадей всех боковых граней. У правильной шестиугольной призмы боковые грани это равные прямоугольники.

Для нахождения площади грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота известна, она равна 1.

Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху):

Имеем правильный шестиугольник, в который вписана окружность радиуса √75.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО. Нам известен катет ОВ (это радиус цилиндра). ещё можем определить угол АОВ, он равен 300 (треугольник АОС равносторонний, ОВ –биссектриса).

Воспользуемся определением тангенса в прямоугольном треугольнике:

АС=2АВ, так как ОВ является медианой, то есть делит АС пополам, значит АС=10.

Таким образом, площадь боковой грани равна 1∙10=10 и площадь боковой поверхности:

76485. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 8√3, а высота равна 6.

Площадь боковой поверхности указанной призмы из трёх равных по площади граней (прямоугольников). Чтобы найти площадь требуется знать длину ребра основания призмы (высота нам известна). Если рассматривать проекцию (вид сверху), то имеем правильный треугольник вписанный в окружность. Сторона этого треугольника выражается через радиус как:

Подробности этой взаимосвязи . Значит она будет равна

Тогда площадь боковой грани равна: 24∙6=144. А искомая площадь:

245354. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота 10. a Н Используем формулу площади поверхности правильной призмы: В основании лежит правильный шестиугольник, который большими диагоналями делится на 6 равных правильных треугольников со стороной а = 5 Поэтому площадь правильного шестиугольника можно найти так: Используем формулу площади боковой поверхности правильной призмы: а а Подставляем данные в формулу * : *


Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота 10. a Н В основании лежит правильный шестиугольник Используем формулу площади боковой поверхности правильной призмы: а Подставляем данные в формулу * : * S бок = = Ответ: 300


Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна Используем формулу площади поверхности правильной призмы: В основании лежит квадрат со стороной а = 20 Используем формулу площади боковой поверхности правильной призмы: Подставляем данные в формулу * : * 1760 = Н 1760 = Н 80Н = Н = 12 Ответ: 12


Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны. 3 Н а Используем формулу объёма правильной призмы: В основании лежит правильный шестиугольник, который большими диагоналями делится на 6 равных правильных треугольников со стороной а = 1 а Поэтому площадь правильного шестиугольника можно найти так: Н – высота (боковое ребро) правильной призмы Подставляем данные в формулу * : *


















Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 0 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.




Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.






Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.