Математическая логика появилась. Предмет математической логики

Другие разделы

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, дедуктивная логика, включающая математические методы исследования способов рассуждений (выводов); математическая теория дедуктивных способов рассуждений. Математической логикой называют также логику, которой пользуются в математике.

Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила вывода подразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называть аксиомами . Другие же позволяют считать выводимыми формулы, синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом с конечными наборами выводимых формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выводимы формулы и, то выводима и формула.

Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И.

Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода, с использованием языка математики.

Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладают семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известен результат К. Гёделя о том, что так называемое классическое исчисление предикатов является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики предикатов первого порядка. С другой стороны, имеется немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно. В этой области классическим результатом является теорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики.

Стоит отметить, что на практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и соответственно входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики, изучаемых в современных учебниках информатики.

Разделы математической логики

Алгебра логики


Логика высказываний


Теория доказательств


Теория моделей

Логика высказываний (или пропозициональная логика от англ. propositional logic, или исчисление высказываний) - это формальная теория, основным объектом которой служит понятие логического высказывания. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка.

Несмотря на свою важность и широкую сферу применения, логика высказываний является простейшей логикой и имеет очень ограниченные средства для исследования суждений

Алгебра логики (алгебра высказываний) - раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями . Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными.

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания. Высказывания строятся над множеством , над элементами которого определены три операции:

Отрицание (унарная операция),


Конъюнкция (бинарная),


Дизъюнкция (бинарная),

а также константы - логический ноль 0 и логическая единица 1.

Теория вероятности - раздел математики, изучающий случайные события их свойства и операции над ними.

В теории вероятностей изучаются, те случайные события, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях и обладающие следующим свойством: в результате эксперимента, при условии S событие A может произойти с определенной вероятность p.

Основными понятиями теории вероятности являются: событие, вероятность, случайное событие, случайное явление, математическое ожидание, дисперсия, функция распределения, вероятностное пространство.

Как наука теория вероятностей возникает в середине 17 века. Первые работы появляются, в связи с подсчетом вероятностей в азартных играх. Исследуя прогнозирование выигрыша при бросании костей, Блез Паскаль и Пьер Ферма , в своей переписке 1654 года, открыли первые вероятностные закономерности. В частности в этой переписки они пришли к понятию математическое ожидание и теоремам умножения и сложения вероятностей. В 1657 году эти результаты были приведены в книге Х. Гюйгенса «О расчетах в азартных играх», которая является первым трактатом по теории вероятностей.

Больших успехов в теории вероятностей достиг Яков Бернулли : он установил закон больших чисел в простейшем случае, сформулировал многие понятия современной теории вероятностей. Им была написана монография по теории вероятностей, которая была издана посмертно в 1713 году, под названием «Искусство предположений».

В первой половине 19 века теория вероятностей начинает применяться в теории ошибок наблюдений. В это время были доказаны теорема Муавра - Лапласа (1812) и теорема Пуассона (1837), являющиеся первыми предельными теоремами. Лаплас расширил и систематизировал математические основы теории вероятностей. Гаусс и Лежандр разработали метод наименьших квадратов.

Во второй половине 19 века большинство открытий в теории вероятности были сделаны российскими учеными П. Л. Чебышёвым и его ученикам и А. М. Ляпуновым и А.А Марковым. В 1867 году Чебышёв сформулировал и достаточно просто доказал закон больших чисел при весьма общих условиях. В 1887 он же впервые сформулировал и предложил метод решения центральной предельной теоремы для сумм независимых случайных величин. В1901 году эта теорема была доказана Ляпуновым при более общих условиях. Марков в 1907 году впервые рассмотрел схему испытаний связанных в цеп, тем самым, положив основу теории Марковских цепей. Так же он внес большой вклад в исследования, касающиеся теории больших чисел и центральной предельной теоремы.

В начале 20 века происходит расширение круга применения теории вероятностей, создаются системы строго математического обоснования и новые методы теории вероятностей. В этот период благодаря трудам Андрея Николаевича Колмогорова теории вероятностей приобретает современный вид.

В 1926 году, будучи аспирантом, Колмогоров получает необходимые и достаточные условия, при которых имеет место закон больших чисел. В 1933 в своей работе «Основные понятия теории вероятностей» Колмогоров вводит аксиоматику теории вероятностей, которая общепризнанна наилучшей.

Математический аппарат теории вероятности широко используется в науке и технике. В частности в астрономии для расчета орбит комет используется метод наименьших квадратов. В медицине при оценке эффективности методов лечения так же используется теория вероятности.

/ БДЭ Математика /

Дедукция

Помните, Шерлок Холмс постоянно твердил о своих дедуктивных способностях? Так что же такое дедукция?

ДЕДУКЦИЯ (лат. deductio - выведение) - такая форма мышления, когда новая мысль выводится чисто логическим путем из предшествующих мыслей. Такая последовательность мыслей называется выводом, а каждый компонент этого вывода является либо ранее доказанной мыслью, либо аксиомой, либо гипотезой. Последняя мысль данного вывода называется заключением.

Дедуктивное умозаключение, являющееся предметом традиционной логики, применяется нами всякий раз, когда требуется рассмотреть какое - либо явление на основании уже известного нам общего положения и вывести в отношении этого явления необходимое заключение. Нам известен, например, следующий конкретный факт - “данная плоскость пересекает шар” и общее правило относительно всех плоскостей, пересекающих шар, -“всякое сечение шара плоскостью есть круг”. Применяя это общее правило к конкретному факту, каждый правильно мыслящий человек необходимо придет к одному и тому же выводу: “значит данная плоскость есть круг”.

Структура дедуктивного умозаключения и принудительный характер его правил отобразили самое распространенные отношения между предметами материального мира: отношения рода, вида и особи, т. е. общего, частного и единичного: то, что присуще всем видам данного рода, то присуще и любому виду; то, что присуще всем особям рода, то присуще и каждой особи.

Впервые теория дедукции была обстоятельно разработана Аристотелем. Он выяснил требования, которым должны отвечать отдельные мысли, входящие в состав дедуктивного умозаключения, определил значение терминов и раскрыл правила некоторых видов дедуктивных умозаключений. Положительной стороной аристотелевского учения о дедукции является то,что в нем отобразились реальные закономерности объективного мира.

Под термином “дедукция” в узком смысле слова понимают также следующее:
1) Метод исследования, заключающийся в следующем: для того, чтобы получить новое знание о предмете или группе однородных предметов, надо, во - первых найти ближайший род, в который входят эти предметы, и, во - вторых, применить к ним соответствующий закон, присущий всему данному роду предметов . Дедуктивный метод играет огромную роль в математике. Известно, что все теоремы выводятся логическим путем с помощью дедукции из небольшого конечного числа исходных начал, называемых аксиомами.
2) Форма изложения материала в книге, лекции, докладе, беседе, когда от общих положений, правил, законов идут к менее общим положениям, правилам, законам.
Этот способ позволяет задавать формальные аксиоматические теории .
2.Задание только аксиом
В этом случае правила вывода считаются общеизвестными, поэтому задаются только аксиомы. Поэтому при таком построении теорем, говорят, что полуформальная аксиоматическая теория .
3.Задание только правил вывода
Данный способ построения теорем основывается на задании только правил вывода, поскольку множество аксиом пусто. Исходя из этого, теория, заданная таким образом, являет собой частный случай формальной теории. Позднее эта разновидность стала называться теорией естественного вывода .

К основным свойства дедуктивных теорий относятся:
1. Противоречивость
Противоречивой называется теория, в которой множество теорем покрывает всё множество формул.
2. Полнота
Полной называется теория, в которой для любой формулы F выводима либо сама F , либо ее отрицание -F .
3. Независимость аксиом
Когда отдельную аксиому теории нельзя вывести из остальных аксиом, то ее называют независимой . Система аксиом называется независимой только в том случае, если каждая аксиома в ней независима.
4. Разрешимость
Когда в теории существует эффективный алгоритм, позволяющий определить количество шагов, доказывающих теорему, теория называется разрешимой . К примеру, логика высказываний, логика первого порядка (исчисление предикатов), формальная арифметика (теория S ).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

теоретическая логика, символическая логика,- раздел математики, посвященный изучению математич. доказательств и вопросов оснований математики.

Исторический очерк. Идея построения универсального языка для всей математики и формализации на базе такого языка математич. доказательств выдвигалась в 17 в. Г. Лейбницем (G. Leibniz). Но только в сер. 19 в. появились первые научные работы по алгебраизации аристотелевод логики [Дж. Буль (G. Boole, 1847) и О. де Морган (A. de Morgan, 1858)]. После того как Г. Фреге (G. Frege, 1879) и Ч. Пирс (С. Peirce, 1885) ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность применить этот язык к вопросам оснований математики.

С другой стороны, создание в 19 в. неевклидовой геометрии сильно поколебало уверенность математиков в абсолютной надежности геометрич. интуиции, на к-рой была основана . Сомнениям в надежности геометрич. интуиции способствовало также то, что в результате развития исчисления бесконечно малых математики натолкнулись на неожиданные примеры всюду непрерывных функций без производных. Появилась потребность отделить понятие действительного числа от неясного понятия "величины", к-рое было основано на геометрич. интуиции. Эта задача была решена разными путями в работах К. Вейерштрасса (К. Weierstrab, P. Дедекинда (R. Dedekind) и Г. Кантора (G. Cantor). Они показали возможность "арифметизации" анализа и теории функций, в результате чего в качестве фундамента всей классич. математики стала рассматриваться целых чисел. Затем была предпринята аксиоматизация арифметики [Р. Дедекинд (1888) и Дж. Пеано (G. Реаnо, 1891)]. При этом Дж. Пеано создал более удобную символику для логич. языка. Пвзже этот язык был усовершенствован в совместном труде Б. Рассела (В. Russell) и А. Уайтхеда (A. Whitehead) "Принципы математики" (1910), где была предпринята попытка сведения всей математики к логике. Но эта попытка не увенчалась успехом, т. к. оказалось невозможным вывести из чисто логич. аксиом существование бесконечных множеств. Хотя логистич. Фреге - Рассела в основаниях математики так и не достигла своей главной цели - сведения математики к логике, в их работах был создан богатый логич. аппарат, без к-рого оформление М. л. как полноценной математич. дисциплины было бы невозможно.

На рубеже 19-20 вв. были обнаружены антиномии, связанные с основными понятиями теории множеств. Наиболее сильное впечатление на современников произвела опубликованная в 1903 Рассела. Пусть Месть всех таких множеств, каждое из к-рых не является своим собственным элементом. Легко убедиться, что Мявляется своим элементом тогда и только тогда, когда Мне является своим элементом. Конечно, можно пытаться выйти из создавшегося противоречия, сделав заключение, что такого множества Мне бывает. Однако, если не может существовать множество, состоящее в точности из всех элементов, удовлетворяющих такому четко определенному условию, к-рое мы имеем в приведенном выше определении множества М, то где гарантия того, что в нашей повседневной работе мы не столкнемся с множествами, к-рые также не могут существовать? И каким, вообще, условиям должно удовлетворять определение множества для того, чтобы оно существовало? Ясно было одно: нужно как-то ограничить канторовскую теорию множеств.

Л. Брауэр (L. Brouwer, 1908) выступил против применения правил классич. логики к бесконечным множествам. В выдвинутой им интуиционистской программе предлагалось отказаться от рассмотрения абстракции актуальной бесконечности, т. е. бесконечных множеств как завершенных совокупностей! Допуская существование сколь угодно больших натуральных чисел, интуиционисты выступают против рассмотрения натурального ряда как завершенного множества. Они считают, что в математике всякое существования того или иного объекта должно быть конструктивным, т. е. должно сопровождаться построением этого объекта. Если предположение о том, что искомый не существует, приведено к противоречию, то это, по мнению интуиционистов, не может рассматриваться как доказательство существования. Особой критике со стороны интупционистов подвергся исключенного третьего закон. Ввиду того, что этот закон первоначально рассматривался применительно к конечным множествам и, учитывая, что многие свойства конечных множеств не выполняются для бесконечных множеств (напр., что всякая собственная часть меньше целого), интуиционисты считают неправомерным применение этого закона к бесконечным множествам. Так, напр., чтобы утверждать, что проблема Ферма имеет положительное или имеет отрицательное решение, интуиционист должен указать соответствующее решение этой проблемы. А пока проблема Ферма не решена, эта считается неправомерной. Такое же требование предъявляется к пониманию всякой дизъюнкции. Это требование интуиционистов может создать затруднения и в случае рассмотрения задач, связанных с конечными множествами. Представим себе, что кто-то, закрыв глаза, достает из урны, в к-рой имеются три черных и три белых шара, и тут же бросает этот шар обратно. Если никто не видел этот шар, то мы не имеем возможности узнать, какого он был цвета. Однако вряд ли можно всерьез оспаривать утверждения, что этот шар был либо черного, либо белого цвета.

Интуиционисты построили свою математику, имеющую интересные своеобразные особенности. Но она оказалась более сложной и громоздкой, чем классич. . Положительный вклад интуиционистов в исследование вопросов оснований математики выразился в том, что они еще раз решительным образом подчеркнули различие между конструктивным и неконструктивным в математике, они провели тщательный анализ многих трудностей, с к-рыми столкнулась математика в своем развитии, и тем самым способствовали их преодолению.

Д. Гильберт (D. Hilbert, см. добавления VII-X в ) наметил другой преодоления трудностей, возникших в основаниях математики на рубеже 19-20 вв. Этот путь, основанный на применении аксиоматич. метода рассмотрения формальных моделей, содержательной математики и на исследовании вопросов непротиворечивости таких моделей надежными финитными средствами, получил в математике название финитизма Гильберта. Признавая ненадежность геометрич. интуиции, Д. Гильберт прежде всего предпринимает тщательный пересмотр евклидовой геометрии, освобождая ее от обращения к интуиции. Результатом такой переработки явились его "Основания геометрии" (1899).

Вопросы непротиворечивости различных теорий по существу рассматривались и до Д. Гильберта. Так, построенная Ф. Клейном (F. Klein, 1871) проективная неевклидовой геометрии Лобачевского сводит вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского к непротиворечивости евклидовой геометрии. Непротиворечивость евклидовой геометрии аналогично можно свести к непротиворечивости анализа, т. е. теории действительных чисел. Однако не видно было, какими средствами можно строить модели анализа и арифметики для доказательства их непротиворечивости. Заслуга Д. Гильберта состоит в том, что он указал прямой путь для исследования этого вопроса. Непротиворечивость данной теории означает, что в ней не может быть получено , т. е. не может быть доказано нек-рое утверждение Аи его Д. Гильберт предложил представить рассматриваемую теорию в виде формальной аксиоматич. системы, в к-рой будут выводимы все те и только те утверждения, к-рые являются теоремами нашей теории. Тогда для доказательства непротиворечивости достаточно установить невыводимость в рассматриваемой теории нек-рых утверждений. Таким образом, математич. , непротиворечивость к-рой мы хотим доказать, становится предметом изучения нек-рой математич. науки, к-рую Д. Гильберт назвал метаматематикой, или теорией доказательств.

Д. Гильберт писал, что парадоксы теории множеств вызваны не законом исключенного третьего, а "скорее тем, что математики пользуются недопустимыми и бессмысленными образованиями понятий, к-рые в моей теории доказательств исключаются сами собой. ...Отнять у математиков закон исключенного третьего - это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам использовать кулаки" (см. с. 383). Д. Гильберт предлагает различать "действительные" и "идеальные" предложения классич. математики. Первые имеют содержательный смысл, а вторые не обязаны иметь содержательный смысл. Предложения, соответствующие употреблению актуальной бесконечности, идеальны. Идеальные предложения присоединяются к действительным для того, чтобы простые правила логики были применимы и к рассуждениям о бесконечных множествах. Это существенно упрощает структуру всей теории подобно тому, как при рассмотрении проективной геометрии на плоскости добавляется бесконечно удаленная , пересекающая любые две в нек-рой точке.

Выдвинутая Д. Гильбертом программа обоснования математики и его энтузиазм вдохновили современников на интенсивную разработку аксиоматического метода. Именно с предпринятой в начале 20 в. Д. Гильбертом и его последователями разработкой теории доказательств на базе развитого в работах Г. Фреге, Дж. Пеано и Б. Рассела логич. языка следует связывать становление М. л. как самостоятельной математич. дисциплины.

Предмет и основные разделы математической логики, связь с другими областями математики. Предмет современной М. л. разнообразен. Прежде всего следует отметить исследование логич. и логико-математич. исчислений, из к-рых основным является классич. предикатов. Еще в 1930 К. Гёдель (К. Godel) доказал теорему о полноте исчисления предикатов, согласно к-рой множество всех чисто логич. утверждений математики совпадает с множеством всех выводимых в исчислении предикатов формул (см. Гёделя о полноте ). Эта теорема показала, что исчисление предикатов является той логич. системой, на базе к-рой можно формализовать математику. На базе исчисления предикатов строятся различные логико-математич. теории (см. Логико-математические исчисления ), представляющие собой формализацию содержательных математич. теорий - арифметики, анализа, теории множеств, теории групп и др. Наряду с элементарными теориями рассматриваются также теории высших порядков, в к-рых допускаются также кванторы по предикатам, предикаты от предикатов и т. д. Традиционными вопросами, к-рые исследуются для тех или иных формальных логич. систем, являются исследования структуры выводов в этих системах, тех или иных формул, вопросы непротиворечивости и полноты рассматриваемых систем.

Доказанная в 1931 Гёделя теорема о неполноте арифметики поколебала оптимистич. надежды Д. Гильберта на полное решение вопросов оснований математики на указанном пути. Согласно этой теореме, если , содержащая арифметику, непротиворечива, то утверждение о ее непротиворечивости, выразимое в этой системе, не может быть доказано средствами, формализуемыми в ней. Это означает, что с вопросами оснований математики дело обстоит не так просто, как хотелось или казалось Д. Гильберту вначале. Но уже К. Гёдель заметил, что непротиворечивость арифметики можно доказывать, пользуясь достаточно надежными конструктивными средствами, хотя и выходящими за рамки средств, формализуемых в арифметике. Аналогичные доказательства непротиворечивости арифметики были получены Г. Генценом (G. Gentzen, 1936) и П. С. Новиковым (1943).

В результате анализа канторовской теории множеств и связанных с ней парадоксов были построены различные системы аксиоматической теории множеств, в к-рых принимается то или иное ограничение на образование множеств, чтобы исключить возникновение известных антиномий. В этих аксиоматич. системах могут быть развиты довольно обширные разделы математики. Вопрос о непротиворечивости достаточно богатых аксиоматич. систем теории множеств остается открытым. Из наиболее значительных результатов, полученных в аксиоматич. теории множеств, следует отметить результат К. Гёделя о непротиворечивости континуум-гипотезы и выбора аксиомы в системе Бернайса - Гёделя (1939) и результат П. Коэна (P. Cohen, 1963) о независимости этих аксиом от аксиом системы Цермело-Френкеля ZF. Отметим, что эти две системы аксиом и ZF равнонепротиворечивы. Для доказательства своих результатов К. Гёдель ввел важное понятие конструктивного множества (см. Конструктивное по Гёдeлю множество ).и показал существование модели системы состоящей из таких множеств. Метод К. Гёделя был использован П. С. Новиковым для доказательства непротиворечивости нек-рых других утверждений дескриптивной теории множеств (1951). Для построения моделей теории множеств ZF, в к-рых выполняются отрицания континуум-гипотезы или аксиомы выбора, П. Коэн ввел так наз. вынуждения метод, к-рый впоследствии был усовершенствован и стал основным методом построения моделей теории множеств, удовлетворяющих тем или иным свойствам.

Одним из наиболее замечательных достижений М. л. явилась разработка понятия общерекурсивной функции и формулировка Чёрча тезиса, утверждающего, что понятие общерекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма. Из других эквивалентных уточнений понятия алгоритма наибольшее распространение получили понятия Тьюринга машины и нормального алгорифма Маркова. По существу вся математика связана с теми или иными алгоритмами. Но только после уточнения понятия алгоритма появилась возможность обнаружить существование неразрешимых алгоритмических проблем в математике. Неразрешимые алгоритмич. проблемы были обнаружены во многих разделах математики ( , теория чисел, теория вероятностей и др.), причем оказалось, что они могут быть связаны с очень распространенными и фундаментальными понятиями математики. Исследование алгоритмич. проблем в той или иной области математики, как правило, сопровождается проникновением идей и методов М. л. в эту , что приводит к решению также и других проблем, уже не имеющих алгоритмич. характера.

Разработка точного понятия алгоритма дала возможность уточнить понятие эффективности и развивать на базе такого уточнения конструктивное в математике (см. Конструктивная математика ), воплотившее в себе нек-рые черты интуиционистского направления, но существенно отличающееся от последнего. Были созданы основы конструктивного анализа, конструктивной топологии, конструктивной теории вероятностей и др.

В самой теории алгоритмов можно выделить исследования в области рекурсивной арифметики, куда входят различные классификации рекурсивных и рекурсивно-перечислимых множеств, степени неразрешимости рекурсивно-перечислимых множеств, исследования сложности записи алгоритмов и сложности алгоритмич. вычислений (по времени и по зоне, см. Алгоритма слож ность ). Обширным развивающимся разделом теории алгоритмов является теория нумераций.

Как отмечалось выше, аксиоматич. метод оказал большое влияние на развитие многих разделов математики. Особенно значительным было проникновение этого метода в алгебру. Так, на стыке М. л. и алгебры возникла общая теория алгебраических систем, или моделей теория. Это направление было заложено в работах А. И. Мальцева, А. Тарского (A. Tarski) и их учеников. Здесь можно отметить исследования по элементарным теориям классов моделей, в частности вопросы разрешимости этих теорий, аксиоматизируемость классов моделей, моделей, вопросы категоричности и полноты классов моделей.

Важное место в теории моделей занимает исследование нестандартных моделей арифметики и анализа. Еще на заре развития дифференциального исчисления в работах Г. Лейбница (G. Leibniz) и И. Ньютона (I. Newton) бесконечно малые и бесконечно большие величины рассматривались как числа. Позже появилось понятие переменной величины, и математики отказались от употребления бесконечно малых чисел, к-рых отличен от нуля и меньше любого положительного действительного числа, т. к. их употребление потребовало бы отказа от аксиомы Архимеда. И только через три столетия в результате развития методов М. л. удалось установить, что (нестандартный) анализ с бесконечно малыми и бесконечно большими числами непротиворечив относительно обычного (стандартного) анализа действительных чисел.

Не обошлась без влияния аксиоматич. метода и интуиционистская математика. Так, еще в 1930 А. Рейтинг (A. Heyting) ввел в рассмотрение формальные системы интуиционистской логики высказываний и предикатов (конструктивные исчисления высказываний и предикатов). Позже были введены формальные системы интуиционистского анализа (см., напр., ). Многие исследования по интуиционистской логике и математике имеют дело с формальными системами. Подвергались специальному изучению также так наз. промежуточные логики (или суперинтуиционистские), т. е. логики, лежащие между классической и интуиционистской логиками. Понятие реализуемости формул по Клини представляет одну из попыток интерпретировать понятие интуиционистской истинности с точки зрения классич. математики. Однако оказалось, что не всякая реализуемая исчисления высказываний выводима в интуиционистском (конструктивном) исчислении высказываний.

Подверглась формализации также и модальная логика. Однако, несмотря на наличие большого числа работ по формальным системам модальной логики и по их семантике (Крипке модели ), можно сказать, что здесь происходит процесс накопления пока еще разрозненных фактов.

М. л. имеет большое прикладное значение; с каждым годом растет глубокое проникновение идей и методов М. л. в кибернетику, в вычислительную математику, в структурную лингвистику.

Лит. : Гильберт Д., Б е р н а й с П., Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики, пер. с нем., М., 1979; К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. сангл., 2 изд., М., 1976; Новиков П. С., Элементы математической логики, 2 изд., М., 1973; Е р ш о в Ю. Л., Палютин Е. А., Математическая логика, М., 1979; Ш е н ф и л д Д. Р., Математическая логика, пер. с англ., М., 1975; Н о в и к о в П. С., Конструктивная математическая логика с точки зрения классической, М., 1977; К л и н и С. К., В е с л и Р., Основания интуиционистской математики с точки зрения теории рекурсивных функций, пер. с англ., М., 1978; Гильберт Д., Основания геометрик, пер. с нем., М., 1948; Френкель А.-А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей, М., 1978; Mostowski A., Thirty years of foundational studies, Hels., 1965.

См. также лит. при статьях об отдельных разделах М. л.

С. И. Адян.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Синонимы :

Смотреть что такое "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА" в других словарях:

Одно из названий современной логики, пришедшей во втор. пол. 19 нач. 20 в. на смену традиционной логике. В качестве др. названия современного этапа в развитии науки логики используется также термин символическая логика. Определение… … Философская энциклопедия

«Если все вороны черные, то все нечерные предметы – не вороны». Это высказывание несомненно истинно, и, чтобы утверждать это, не нужно быть знатоком птиц. Точно так же не нужно быть специалистом в теории чисел, чтобы сказать, что если все совершенные числа четны, то все нечетные числа несовершенны. Мы привели примеры утверждений, истинных независимо от смысла входящих в них понятий (вороны, черные, совершенные, четные) – истинных уже в силу самой своей формы. Изучение такого рода утверждений входит в задачу логики. Более общо: логика изучает правильные способы рассуждений – такие способы рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные посылки.

Предметом математической логики служат в основном рассуждения. При их изучении она пользуется математическими методами. Разъясним сказанное.

Математики строят и развивают математические теории, дают определения, доказывают теоремы и т.п. Специалисты по математической логике, наблюдая за этим, анализируют, как математики это делают и что при этом получается. Образно говоря, соотношение между математикой и математической логикой похоже на соотношение между концертом и теорией музыки. Можно сказать, что математическая логика изучает основания математики, принципы построения математических теорий.

«Книга философии – это то, что всегда раскрыто перед нашими глазами, но так как она написана иными буквами, чем буквы нашего алфавита, то она не может быть прочитана всеми буквами этой книги являются треугольники, круги, шары, конусы, пирамиды и другие математические фигуры, очень пригодные для чтения ее». Г. Галилей

Установив, что изучает математическая логика, перейдем к тому, как она это делает. Нам уже известно, что она пользуется математическими методами. Объясним, что это значит. Как применяются математические методы, например, в физике? Строится математическая модель рассматриваемого физического процесса, отражающая какие-то его существенные свойства. Математические методы могут применяться не только в физике, но и в других науках. Например, применение математических методов в биологии состоит в построении математических моделей биологических процессов. Можно строить математические модели и для процесса развития математических теорий. Это и делает математическая логика.

Как устроена математическая теория? Она содержит какие-то утверждения. Некоторые из них принимаются без доказательств, другие удается доказать (в этом случае утверждения называют теоремами). Значение слов «утверждение» и «доказательство» в повседневной практике весьма расплывчато. Поэтому если мы хотим строить математическую модель, то первым делом нужно уточнить эти понятия, т.е. построить их формальные аналоги в нашей модели. Для этого математические логики придумали специальные формальные языки, предназначенные для записи математических утверждений. Утверждения, записанные на формальных языках, называют формулами, чтобы отличить их от предложений естественных языков. Построив формальный язык, мы получаем возможность записывать некоторые математические утверждения в виде формул. Этого, разумеется, еще не достаточно. Нам нужно уметь записывать формально не только утверждения, но и доказательства. Для этого математические логики придумали формальный аналог понятия «доказательство» - понятие вывода (доказательства, записанного на формальном языке). Формальным аналогом понятия «теорема» является понятие «выводимая формула» (т.е. формула, имеющая вывод). Формальный язык вместе с правилами построения выводов называется формальной системой.

Какие требования естественно предъявлять к формальной системе? Мы хотим, чтобы она была как можно более похожа на «живую», неформальную математику. Для этого нужно, чтобы все интересующие нас содержательные утверждения (или, по крайней мере, большая их часть) могли быть «переведены на формальный язык», т.е. записаны в виде формул этой системы. Кроме того, нужно, чтобы неформальные доказательства можно было перевести в выводы соответствующих формул.

В настоящее время построены вполне удовлетворительные модели (формализации) большинства математических теорий. Наиболее важны формальная арифметика и аксиоматическая теория множеств. Формальная арифметика предназначается для формализации рассуждений о натуральных числах, а аксиоматическая теория множеств – о множествах.

Основным предметом математической логики, таким образом, является построение и изучение формальных систем. Центральным результатом здесь является доказанная в 1931 г. австрийским математиком К. Геделем теорема о неполноте, утверждающая, что для любой «достаточно разумной» формальной системы существуют неразрешимые в ней предложения, т.е. такие формулы , что ни сама формула , ни ее отрицание не имеют вывода. Если отождествить формальную систему с соответствующей областью математики, то можно сказать, что в любой «достаточно разумной» области математики есть утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Мы не можем здесь точно сказать, что именно требуется от «достаточно разумной» формальной системы; отметим лишь, что большинство формальных систем (в том числе формальная арифметика и аксиоматическая теория множеств) удовлетворяют этим требованиям. На примере теоремы о неполноте мы видим, какую пользу приносит построение формальной системы: мы получаем возможность доказать, что какие-то утверждения недоказуемы!

Изучение формальных систем привело к возникновению многих важных направлений в современной математической логике. Назовем некоторые из них. Теория моделей исследует вопрос о том, как можно придать «смысл» выражениям формальных языков и что при этом получается. Теория доказательств изучает свойства выводов в формальных системах. Важнейшим разделом логики, который сейчас уже можно рассматривать как самостоятельную дисциплину, является теория алгоритмов.

Многие знаки, придуманные логиками для построения формальных систем, постепенно вошли в общее употребление. К ним относятся логические связки (конъюнкция, «и»), (дизъюнкция, «или»), (импликация, «если... то...»), (отрицание, «неверно, что») и так называемые кванторы (всеобщности, «для всех») и (существования, «существует»). Смысл логических связок, помимо указанных в скобках названий, разъясняется так называемыми таблицами истинности. Эти таблицы показывают, будет ли сложное утверждение, составленное с помощью логических связок из простых, истинно (И) или ложно (Л) в зависимости от истинности его составных частей. Приведем их.

Например, пятый столбец показывает, что утверждение может быть ложно, только если истинно, а ложно. С помощью этих таблиц можно составить таблицу истинности и для более сложных утверждений, например для утверждения .

Составив ее, мы увидим, что это утверждение (шестой столбец) всегда истинно, независимо от истинности утверждений и (например, утверждение «

которые получаются, если подставить вместо утверждение « – ворона», а вместо - « – черная» или вместо - « – совершенные», а вместо - « – четные».

современная математическая модель формальной логики как науки о правильном рассуждении. По меткому выражению русского логика Порецкого, математическая логика суть логика по предмету и математика - по методу решения своих проблем. Систематическая разработка математической логики началась с работ Больцано, Фреге, Рассела и Витгенштейна. Суть этой логики и рассмотрении большинства логических категорий (понятие, предикат, суждение, умозаключение, вывод, доказательство) как логических функций, областью значения которых являются истинностные значения. Как логические функции истолковываются и все логические операторы (термины «Все», «Существует», «Некоторые», «Один», «Ниодин», «и», «или», «если, то», «тождественно», «возможно», «необходимо» и т. д. и т. п.). Все логические функции задаются, в конечном счете, табличным способом с помощью всевозможных сочетаний введенного числа истинностных значений на «входе» и «выходе» этих функций. Так, например, логическое отношение «если, то...» моделируется с помощью функции =), называемой материальной импликацией.

Отличное определение

Неполное определение ↓

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

логика, развившаяся в точную науку, применяющую математич. методы, или, согласно П. С. Порецкому, логика по предмету, математика по методам. Идея построения М. л. высказывалась впервые Лейбницем. Но лишь в 19 в. в соч. Буля "Математический анализ логики" (G."Boole, "The mathematical analysis of logic", 1847) была начата систематич. разработка этой науки. Дальнейшее развитие М. л. в значит. мере стимулировалось потребностями математики, ставившей логич. проблемы, для решения к-рых старые средства классич. формальной логики были непригодны. Одной из этих проблем явилась проблема недоказуемости 5-го постулата Эвклида в геометрии. Эта проблема связана с аксиоматическим методом, являющимся наиболее распространенным способом логич. систематизации математики. Он требует точной формулировки основных, принимаемых без доказательства положений развертываемой теории – т.н. а к с и о м, из к-рых все дальнейшее ее содержание логически выводится. Математич. теории, развиваемые т.о., наз. а к с и о м а т и ч е с к и м и. Классич. прототипом такого построения математич. теории является эвклидово построение геометрии. В связи со всякой аксиоматич. теорией естественно возникает ряд логич. проблем. В частности, возникает проблема л о г и ч е с к о й н е з а в и с и м о с т и аксиом данной теории, состоящая в установлении того, что ни одна из аксиом теории не может быть чисто логически выведена из остальных аксиом. Для эвклидовой геометрии в течение двух тысячелетий оставался открытым вопрос о логич. независимости 5-го постулата Эвклида. Было предпринято много тщетных попыток вывести его из остальных аксиом эвклидовой геометрии, пока, наконец, в работах Н. И. Лобачевского не было впервые в явной форме высказано убеждение в невозможности осуществить такой вывод. Это убеждение было подкреплено Лобачевским построением новой геометрии, в корне отличной от эвклидовой. В геометрии Лобачевского, тщательно разработанной ее творцом, не обнаруживалось противоречий; это вселяло уверенность в том, что противоречия и вообще не могут возникнуть, как бы далеко ни было продвинуто выведение следствий из аксиом новой геометрии. Впоследствии нем. математиком Ф. Клейном было доказано, что п р о т и в о р е ч и я не могут возникнуть в геометрии Лобачевского, если они не могут возникнуть в эвклидовой г е о м е т р и и (см. Метод аксиоматический). Так возникли и были частично решены исторически первые проблемы "недоказуемости" и непротиворечивости в аксиоматич. теориях. Точная постановка таких проблем, их рассмотрение как проблем математических требуют уточнения понятия доказательства. Всякое математич. доказательство состоит в последовательном применении тех или иных логич. средств к исходным положениям. Но логич. средства не представляют собой чего-то абсолютного, раз навсегда установленного. Они вырабатывались многовековой человеческой практикой; "...практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, д а б ы эти фигуры м о г л и получить значение а к с и о м" (Ленин В. И., Соч., т. 38, с. 181–82). Человеческая практика является, однако, на каждом историч. этапе ограниченной, а объем ее все время растет. Логич. средства, удовлетворительно отражавшие человеческое мышление на данном этапе или в данной области, могут уже оказаться неподходящими на след. этапе или в др. области. Тогда в зависимости от изменения содержания рассматриваемого предмета изменяется и способ его рассмотрения – изменяются логич. средства. Это в особенности относится к математике с ее далеко идущими многостепенными абстракциями. Здесь бессмысленно говорить о логич. средствах как о чем-то данном в своей совокупности, как о чем-то абсолютном. Зато имеет смысл рассмотрение логич. средств, применяемых в той же или иной конкретной обстановке, встречающейся в математике. Их установление для к.-л. аксиоматич. теории и составляет искомое уточнение понятия доказательства для этой теории. Важность этого уточнения для развития математики выявилась в особенности за последнее время. Разрабатывая множеств теорию, ученые столкнулись с рядом трудных проблем, в частности с проблемой о мощности континуума, выдвинутой Г. Кантором (1883), к к-рой до 1939 не было найдено удовлетворит. подходов. Др. проблемы, столь же упорно не поддававшиеся решению, встретились в дескриптивной теории множеств, разрабатываемой сов. математиками. Постепенно выяснилось, что трудность этих проблем является логической, что она связана с неполной выявленностью применяемых логич. средств и аксиом и что единств. путем к ее преодолению является уточнение тех и других. Выяснилось, т.о., что разрешение этих задач требует привлечения М. л., к-рая, следовательно, является наукой, необходимой для развития математики. В наст. время надежды, возлагавшиеся на М. л. в связи с этими проблемами, уже оправдали себя. В отношении проблемы континуума очень существенный результат был получен К. Геделем (1939), доказавшим непротиворечивость обобщенной континуум-гипотезы Кантора с аксиомами теории множеств при условии, что эти последние непротиворечивы. В отношении же ряда трудных проблем дескриптивной теории множеств важные результаты получены П. С. Новиковым (1951). Уточнение понятий доказательства в аксиоматич. теории является важным этапом ее развития. Теории, прошедшие этот этап, т.е. аксиоматич. теории с установленными логич. средствами, называют д е д у к т и в н ы м и т е о р и я м и. Лишь для них допускают точную формулировку интересующие математиков проблемы доказуемости и непротиворечивости в аксиоматич. теориях. Для решения этих проблем в совр. М. л. применяется метод формализации доказательств. Идея метода формализации доказательств принадлежит нем. математику Д. Гильберту. Проведение этой идеи стало возможным благодаря предшествовавшей разработке М. л. Булем, Порецким, Шредером, Фреге, Пеано и др. В наст. время метод формализации доказательств является мощным орудием исследования в проблемах обоснования математики. Применение метода формализации бывает обычно связано с выделением логич. части рассматриваемой дедуктивной теории. Эта логич. часть, оформляемая, как и вся теория, в виде нек-рого исчисления, т.е. системы формализованных аксиом и формальных правил вывода, может быть рассматриваема как самостоятельное целое. Простейшим из логич. исчислений являются исчисления высказываний, классическое и конструктивное. Формальное различие двух исчислений высказываний отражает глубокое различие в их истолкованиях, касающееся смысла пропозициональных переменных и логич. связок (см. Интуиционизм, Исчисление задач, Логика высказываний). Наиболее широко используемым при построении дедуктивных математич. теорий является в наст. время классич. предикатов исчисление, представляющее собой развитие и уточнение классич. теории суждений Аристотеля и вместе с тем соответствующее теоретико-множеств. системе абстракций. Конструктивное исчисление предикатов относится к классич. исчислению предикатов так же, как конструктивное исчисление высказываний к классич. исчислению высказываний. Самое существенное из расхождений между этими двумя исчислениями предикатов связано с истолкованием в них частных, или экзистенциальных, суждений. В то время как в конструктивном исчислении предикатов такие суждения истолковываются как утверждения о возможности определ. конструкций и считаются установленными лишь при указании этих конструкций, в классич. исчислении предикатов экзистенциальные суждения обычно трактуются в отрыве от конструктивных возможностей как некие "чистые" утверждения о существовании (см. Конструктивное направление). Более удовлетворительное истолкование экзистен-циальных суждений классич. исчисления предикатов, увязывающее определ. образом это исчисление с конструктивным исчислением предикатов, было открыто А. Н. Колмогоровым в 1925. В математике логич. исчисления применяются в сочетании со специфич. аксиомами развертываемых дедуктивных теорий. Напр., теорию натуральных чисел можно строить, объединяя аксиомы Пеано для арифметики с исчислением предикатов (классическим или конструктивным). Применяемое при этом объединение логич. символики с математической не только позволяет оформлять математич. теории в виде исчислений, но и может являться ключом к уточнению смысла математич. предложений. В наст. время сов. математиком Н. А. Шаниным разработаны точные правила конструктивного истолкования математич. суждений, охватывающие широкие области математики. Применение этих правил становится возможным лишь после того, как рассматриваемое суждение записано на надлежащем точном логико-математич. языке. В результате применения правил истолкования может выявиться конструктивная задача, связываемая с данным суждением. Это, однако, происходит не всегда: не со всяким математич. предложением обязательно связывается конструктивная задача. С исчислениями связаны следующие понятия и идеи. Об исчислении говорят, что оно непротиворечиво, если в нем не выводима никакая формула вида U вместе с формулой U (где есть знак отрицания). Задача установления непротиворечивости применяемых в математике исчислений является одной из гл. задач М. л. В наст. время эта задача решена лишь в весьма огранич. объеме. Употребляются разл. понятия п о л н о т ы исчисления. Имея в виду охват той или иной содержательно определенной области математики, считают исчисление полным относительно этой области, если в нем выводима всякая формула, выражающая верное утверждение из этой области. Другое понятие полноты исчисления связано с требованием доставлять либо доказательство, либо опровержение для всякого предложения, формулируемого в исчислении. Первостепенное значение в связи с этими понятиями имеет теорема Геделя–Россера, утверждающая несовместимость требования полноты с требованиями непротиворечивости для весьма широкого класса исчислений. Согласно теореме Геделя–Россера, никакое непротиворечивое исчисление из этого класса не может быть полным относительно арифметики: для всякого такого исчисления может быть построено верное арифметич. утверждение, формализуемое, но не выводимое в этом исчислении (см. Метатеория). Эта теорема, не снижая значения М. л. как мощного организующего средства в науке, в корне убивает надежды на эту дисциплину как на нечто способное осуществить всеобщий охват математики в рамках одной дедуктивной теории. Надежды такого рода высказывались мн. учеными, в том числе Гильбертом – главным представителем формализма в математике – направления, пытавшегося свести всю математику к манипуляциям с формулами по определенным раз навсегда установленным правилам. Результат Геделя и Россера нанес этому направлению сокрушительный удар. В силу их теоремы, даже такая сравнительно элементарная часть математики, как арифметика натуральных чисел, не может быть охвачена одной дедуктивной теорией. М. л. органически связана с кибернетикой, в частности с теорией релейно-контактных схем и автоматов, машинной математикой и лингвистикой математической. Приложения М. л. к релейно-контактным схемам основаны на том, что всякая двухполюсная релейно- контактная схема в след. смысле м о д е л и р у е т нек-рую формулу U классич. исчисления высказываний. Если схема управляется n реле, то столько же различных пропозициональных переменных содержит U, и, если обозначить через bi, суждение "Реле номер i сработало", то цепь будет тогда и только тогда замкнута, когда будет верен результат подстановки суждений b1, ..., bn вместо соответствующих логич. переменных в U. Построение такой моделируемой формулы, описывающей "условия работы" схемы, оказывается особенно простым для т.н. ?-с х е м, получаемых исходя из элементарных одноконтактных цепей путем параллельных и последовательных соединений. Это связано с тем, что параллельное и последовательное соединения цепей моделируют, соответственно, дизъюнкцию и конъюнкцию суждений. Действительно, цепь, полученная путем параллельного (последовательного) соединения цепей Ц1 и Ц2, тогда и только тогда замкнута, когда замкнута цепь Ц1 или (и) замкнута цепь Ц2. Применение исчисления высказываний к релейно-контактным схемам открыло плодотворный подход к важным проблемам совр. техники. Вместе с тем эта связь теории с практикой привела к постановке и частичному решению мн. новых и трудных проблем М. л., к числу к-рых в первую очередь относится т.н. проблема м и н и м и з а ц и и, состоящая в разыскании эффективных методов нахождения простейшей формулы, равносильной данной формуле. Релейно-контактные схемы являются частным случаем управляющих схем, применяемых в совр. автоматах. Управляющие схемы иных типов, в частности, схемы из электронных ламп или полупроводниковых элементов, имеющие еще большее практич. значение, также могут быть разрабатываемы с помощью М. л., к-рая доставляет адекватные средства как для анализа, так и для синтеза таких схем. Язык М. л. оказался также применимым в теории программирования, создаваемой в наст. время в связи с развитием машинной математики. Наконец, созданный в М. л. аппарат исчислений оказался применимым в математической лингвистике, изучающей язык математич. методами. Одной из осн. проблем этой науки является точная формулировка правил грамматики рассматриваемого языка, т.е. точное определение того, что следует понимать под "грамматически правильной фразой этого языка". Как показал амер. ученый Хомский, есть все основания искать решение этой задачи в следующем виде: строится нек-рое исчисление, и грамматически правильными фразами объявляются выражения, составленные из знаков алфавита данного языка и выводимые в этом исчислении. Работы в этом направлении продолжаются. См. также Алгебра логики, Конструктивная логика, Логика комбинаторная, Логика классов, Логическое исчисление, Модальная логика и лит. при этих статьях. А. Марков. Москва.

Введение

Тема контрольной работы «Математическая логика».

БУЛЬ или БУЛ, а также БУУЛ, Джордж (1815-1864) – английский математик, который считается основоположником математической логики.

Математическая логика – это раздел математики, посвященный анализу методов рассуждений, при этом в первую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержание, т.е. исследуется формализация рассуждений.

Формализация рассуждений восходит к Аристотелю. Современный вид аристотелева (формальная) логика приобрела во второй половине XIX века в сочинении Джорджа Буля “Законы мысли”.

Интенсивно математическая логика начала развиваться в 50-е годы XX века в связи с бурным развитием цифровой техники.

1. Элементы математической логика

Основными разделами математической логики являются исчисление высказываний и исчисление предикатов.

Высказывание – есть предложение, которое может быть либо истинно, либо ложно.

Исчисление высказываний – вступительный раздел математической логики, в котором рассматриваются логические операции над высказываниями.

Предикат – логическая функция от п переменных, которая принимает значения истинности или ложности.

Исчисление предикатов – раздел математической логики, объектом которого является дальнейшее изучение и обобщение исчисления высказываний.

Теория булевых алгебр (булевых функций) положена в основу точных методов анализа и синтеза в теории переключательных схем при проектировании компьютерных систем.

1.1 Основные понятия алгебры логики

Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями.

В алгебре логики интересуются лишь истинностным значением высказываний. Истинностные значения принято обозначать:

1 (истина) 0 (ложь).

Каждой логической операции соответствует функция, принимающая значения 1 или 0, аргументы которой также принимают значения 1 или 0.

Такие функции называются логическими или булевыми, или функциями алгебры логики (ФАЛ). При этом логическая (булева) переменная x может принимать только два значения:

.

Таким образом,

- логическая функция, у которой логи-ческие переменные являются высказываниями. Тогда сама логическая функция является сложным высказыванием.

В этом случае алгебру логики можно определить, как совокупность множества логических функций с заданными в нем всевозможными логическими операциями. Таким логическим операциям, как конъюнкция (читается И) , дизъюнкция (ИЛИ ), импликация, эквивалентность, отрицание (НЕ) , соответствуют логические функции, для которых приняты обозначения

(&, ·), ~, – (), и имеет место таблица истинности:

						x~y
0	0	0	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	0	0
1	1	1	1	1	0	1

Это табличный способ задания ФАЛ. Наряду с ними применяется задание функций с помощью формул в языке, содержащем переменные x , y , …, z (возможно индексированные) и символы некоторых конкретных функций – аналитический способ задания ФАЛ.

Наиболее употребительным является язык,содержащий логические символы

~, –. Формулы этого языка определяются следующим образом:

1) все переменные есть формулы;

2) если P и Q – формулы, то

P ~ Q , - фор-мулы.

Например, выражение

~ - формула. Если переменным x , y , z придать значения из двоичного набора 0, 1 и провести вычисления в соответствии с операциями, указанными в формуле, то получим значение 0 или 1.

Говорят, что формула реализует функцию. Так формула

~ реализует функцию h (x , y , z ):

x	y	z	h (x, y, z )
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

Пусть P и Q – формулы, которые реализуют функции f (x 1 , x 2 , …, x n ) и g (x 1 , x 2 , …, x n ). Формулы равны: P = Q , если функции f и g совпадают, т.е. совпадают их таблицы истинности. Алгебра, основным множеством которой является все множество логических функций, а операциями – дизъюнкция, конъюнкция и отрицание, называется булевой алгеброй логических функций.

Приведем законы и тождества, определяющие операции

– и их связь с операциями , ~:

1. Идемпотентность конъюнкции и дизъюнкции:

.

2. Коммутативность конъюнкции и дизъюнкции:

.

3. Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции:

.

4. Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции и дизъюнкции относительно конъюнкции:

.

5. Двойное отрицание:

.

6. Законы де Моргана:

=, =.

7. Склеивание:

.

8. Поглощение

.

9. Действия с константами 0 и 1.