Квадратичной формой f(х 1 , х 2 ,...,х n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом:f(х 1 , х 2 ,...,х n) = (a ij =a ji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали,a ij =a ji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где

В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * =C T AC.

Например, найдем квадратичную форму f(y 1 , y 2), полученную из квадратичной формыf(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической (имеетканонический вид ), если все ее коэффициентыa ij = 0 приi≠j, т.е.f(х 1 , х 2 ,...,х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 .

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х 2 2 – х 2 х 3 .

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 2 – 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) - (5/100)х 3 2 = = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 – (1/10)х 3) 2 - (1/20)х 3 2 .

Тогда невырожденное линейное преобразование y 1 = x 1 + х 2 ,y 2 = х 2 – (1/10)х 3 и y 3 = x 3 приводит данную квадратичную форму к каноническому видуf(y 1 ,y 2 ,y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами 1). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называютзаконом инерции квадратичных форм .

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х 2:f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = -3х 2 2 – х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = -3(х 2 2 – - 2* х 2 ((1/6) х 3 + (2/3)х 1) +((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2) – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(х 2 – (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y 3 2 , гдеy 1 = - (2/3)х 1 + х 2 – (1/6) х 3 ,y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 и y 3 = x 1 . Здесь положительный коэффициент 2 приy 3 и два отрицательных коэффициента (-3) приy 1 иy 2 (а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 приy 1 и два отрицательных – (-5) приy 2 и (-1/20) приy 3).

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы , равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называютположительно (отрицательно )определенной , если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е.f(X) > 0 (отрицательна, т.е.f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная формаf 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в видеf 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема . Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра) . Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы Аn-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первыхkстрок и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А  1 =a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х 1 , х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А  1 =a 11 = = -2 < 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – отрицательно определенная (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса).

И в качестве еще одного примера исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Одно из этих чисел отрицательно, а другое – положительно. Знаки собственных значений разные. Следовательно, квадратичная форма не может быть ни отрицательно, ни положительно определенной, т.е. эта квадратичная форма не является знакоопределенной (может принимать значения любого знака).

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А  1 =a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка 2 = = -6 – 4 = -10 < 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Рассмотренный способ приведения квадратичной формы к каноническому виду удобно использовать, когда при квадратах переменных встречаются ненулевые коэффициенты. Если их нет, осуществить преобразование все равно возможно, но приходится использовать некоторые другие приемы. Например, пустьf(х 1 , х 2) = 2x 1 х 2 = x 1 2 + 2x 1 х 2 + х 2 2 - x 1 2 - х 2 2 =

= (x 1 + х 2) 2 - x 1 2 - х 2 2 = (x 1 + х 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 х 2 + х 2 2) - 2x 1 х 2 = (x 1 + х 2) 2 – - (x 1 - х 2) 2 - 2x 1 х 2 ; 4x 1 х 2 = (x 1 + х 2) 2 – (x 1 - х 2) 2 ;f(х 1 , х 2) = 2x 1 х 2 = (1/2)* *(x 1 + х 2) 2 – (1/2)*(x 1 - х 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2 , гдеy 1 = х 1 + х 2 , аy 2 = х 1 – х 2 .

Квадратичные формы

Квадратичной формой f(х 1 , х 2 ,...,х n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом: f(х 1 , х 2 ,...,х n) = (a ij = a ji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали, a ij = a ji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где

В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма
f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * = C T AC.

Например, найдем квадратичную форму f(y 1 , y 2), полученную из квадратичной формы f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид ), если все ее коэффициенты a ij = 0 при i ≠ j, т.е.
f(х 1 , х 2 ,...,х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 .

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х 2 2 – х 2 х 3 .

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 2 – 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) - (5/100)х 3 2 =
= 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 – (1/10)х 3) 2 - (1/20)х 3 2 .

Тогда невырожденное линейное преобразование y 1 = x 1 + х 2 , y 2 = х 2 – (1/10)х 3 и y 3 = x 3 приводит данную квадратичную форму к каноническому виду f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называют законом инерции квадратичных форм .

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х 2:
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = -3х 2 2 – х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = -3(х 2 2 –
- 2* х 2 ((1/6) х 3 + (2/3)х 1) +((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2) – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(х 2 – (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = f(y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2 , где y 1 = - (2/3)х 1 + х 2 – (1/6) х 3 , y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 и y 3 = x 1 . Здесь положительный коэффициент 2 при y 3 и два отрицательных коэффициента (-3) при y 1 и y 2 (а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 при y 1 и два отрицательных – (-5) при y 2 и (-1/20) при y 3).

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы , равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называют положительно (отрицательно ) определенной , если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е. f(X) > 0 (отрицательна, т.е.
f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в виде f 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема . Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра) . Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы А n-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первых k строк и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D 1 = a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х 1 , х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

Положительно определенные квадратичные формы

Определение . Квадратичная форма от n неизвестных называется положительно определенной , если ее ранг равен положительному индексу инерции и равен числу неизвестных.

Теорема. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда на любом ненулевом наборе значений переменных принимает положительные значения.

Доказательство. Пусть квадратичная форманевырожденным линейным преобразованием неизвестных

приведена к нормальному виду

.

Для любого ненулевого набора значений переменных хотя бы одно из чисел отлично от нуля, т.е. . Необходимость теоремы доказана.

Предположим, что квадратичная форма принимает положительные значения на любом ненулевом наборе переменных, но ее положительный индекс инерции Невырожденным линейным преобразованием неизвестных

приведем ее к нормальному виду. Без ограничения общности можно считать, что в этом нормальном виде квадрат последней переменной либо отсутствует, либо входит в нее со знаком минус, т.е. , где или . Предположим, что – ненулевой набор значений переменных , полученный в результате решения системы линейных уравнений

В этой системе число уравнений равно числу переменных и определитель системы отличен от нуля. По теореме Крамера система имеет единственное решение, и оно ненулевое. Для этого набора . Противоречие с условием. Приходим к противоречию с предположением, что и доказывает достаточность теоремы.

С помощью этого критерия нельзя по коэффициентам установить, положительно ли определена квадратичная форма. Ответ на такой вопрос дает другая теорема, для формулировки которой введем еще одно понятие. Главные диагональные миноры матрицы – это миноры, расположенные в ее левом верхнем углу:

, , , … , .

Теорема. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные диагональные миноры положительны.

Доказательство проведем методом полной математической индукции по числу n переменных квадратичной формы f.

Гипотеза индукции. Предположим, что для квадратичных форм с числом переменных меньшим n утверждение верно.

Рассмотрим квадратичную форму от n переменных. Соберем в одну скобку все слагаемые, содержащие . Оставшиеся слагаемые образуют квадратичную форму от переменных. По гипотезе индукции для нее утверждение верно.

Предположим, что квадратичная форма положительно определена. Тогда и квадратичная форма положительно определена. Если предположим, что это не так, то найдется ненулевой набор значений переменных , для которого и, соответственно, , а это противоречит тому, что квадратичная форма положительно определена. По гипотезе индукции все главные диагональные миноры квадратичной формы положительны, т.е. все первые главные миноры квадратичной формы f положительны. Последний главный минор квадратичной формы – этоопределитель ее матрицы. Этот определитель положителен, так как его знак совпадает со знаком матрицы ее нормального вида, т.е. со знаком определителя единичной матрицы.

Пусть все главные диагональные миноры квадратичной формы положительны, Тогда положительны все главные диагональные миноры квадратичной формы из равенства . По гипотезе индукции квадратичная форма положительно определена, поэтому существует невырожденное линейное преобразование переменных которое приводит форму к виду суммы квадратов новых переменных . Это линейное преобразование можно дополнить до невырожденного линейного преобразования всех переменных полагая . Квадратичная форма этим преобразованием приводится к виду